Flächeninhalt Kreis berechnen

Die Kreisfläche könnt ihr aus verschiedenen gegebenen Größen herleiten, zum Beispiel dem Radius, dem Durchmesser oder dem Kreisumfang. Wir rechnen alle drei Möglichkeiten durch und ich erkläre euch Schritt für Schritt, wie man es macht. Fangen wir mit dem Radius an

Umfang von Kreis mit Radius berechnen

Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Außenlinie des Kreises. Da bei einem Kreis alle Punkte am Rand des Kreises den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben, könnt ihr den Radius in jede Richtung messen. Er ist immer gleichlang.

Die Formel, die ihr braucht, um mit gegebenem Radius r den Flächeninhalt A eines Kreises zu berechnen lautet:

$$ A = \pi * r^2 $$

$ \pi $ oder auch Pi, ist eine Konstante, Die Kreiszahl beschreibt das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser. Der Einfachheit halber wird für Pi meistens der Wert 3,14 benutzt. In Wirklichkeit hat Pi unendlich viele Nachkommastellen. Ihr könnt die Zahl auch auf den meisten Taschenrechner finden. Die Taste trägt meistens das Symbol $ \pi $.

Beispielaufgabe

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r = 5 cm. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Lösung:

Alles was wir tun müssen, ist den Radius r in die Formel einzusetzen und diese dann auszurechnen.

$$ A = \pi * r^2 $$	Formel
$$ A = \pi * (5 cm)^2 $$	Wert für r eingesetzt
$$ A = \pi * 25 cm^2 $$
$$ A = 78.5398163397 cm^2 $$	Ergebnis
$$ A = 78.54 cm^2 $$	Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet

Vergesst nicht, dass der Flächeninhalt eines Kreises wie der Name schon sagt, eine Fläche ist, deshalb ist das Ergebnis auch in $ cm^2 $ und nicht in $ cm $.

Flächeninhalt von Kreis mit Durchmesser berechnen

Der Durchmessereines Kreises ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte aud der Außenlinie des Kreises. Dafür nimmt man einen beliebigen Punkt auf der Außenlinie des Kreises und zieht eine Linie durch den Mittelpunkt des Kreises zum gegenüberliegenden Punkt. Der Durchmesser eines Kreises ist doppelt so lang wie sein Radius.

Die Formel, die ihr braucht, um mit gegebenem Durchmesser den Flächeninhalt A eines Kreises zu berechnen lautet:

$$ A = \frac{\pi}{4} * d^2 $$

Wenn ihr euch diese Formel nicht merken könnt oder wollt, könnt ihr sie auch aus der Formel herleiten, mit der man mit gegebenem Radius die Kreisfläche berechnet. Ich zeig euch wie es geht:

$$ A = \pi * r^2 $$	$$ r = \frac{1}{2}d $$ Da wir wissen, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser, setzen wir den halben Durchmesser für r ein
$$ A = \pi * (\frac{1}{2}d)^2 $$
$$ A = \pi * (\frac{1}{2})^2 * d^2 $$
$$ A = \pi * \frac{1}{4} * d^2 $$
$$ A = \frac{\pi}{4} * d^2 $$

Beispielaufgabe

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser d = 10 cm. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Lösung:

Alles was wir tun müssen, ist den Durchmesser d in die Formel einzusetzen und diese dann auszurechnen.

$$ A = \frac{\pi}{4} * d^2 $$	Formel
$$ A = \frac{\pi}{4} * (10 cm)^2 $$	Wert für d eingesetzt
$$ A = \frac{\pi}{4} * 100 cm^2 $$
$$ A = 78.5398163397 cm^2 $$	Ergebnis
$$ A = 78.54 cm^2 $$	Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet

Flächeninhalt von Kreis mit Umfang berechnen

der Umfang eines Kreises ist die Länge der Außenlinie eines Kreises.

Die Formel, die ihr braucht, um mit gegebenem Umfang den Flächeninhalt A eines Kreises zu berechnen lautet:

$$ U = 2\pi * r $$

mit dieser Formel können wir nämlich aus dem Umfang eines Kreises seinen Radius berechnen. Wie man dann mit dem Radius den Flächeninhalt eines Kreises berechnet haben wir ja schon gesehen. Aber machen wir das doch mal Schritt für Schritt der Reihe nach.

Zuerst lösen wir die Formel nach r auf.

$$ U = 2\pi * r $$	Formel
$$ 2\pi * r = U $$	Seiten vertauschen
$$ 2\pi * r = U $$	$$: 2\pi $$
$$ r = \frac{U}{2\pi}$$

Jetzt haben wir den Radius des Kreise. Nun können wir mit dem Radius wie wir es bereits gemacht haben den Flächeninhalt des Kreises berechnen. Machen wir das ganze doch einmal mit einer Beispielaufgabe

Zur Erinnerung: die Formel um mit gegebenem Radius r die Kreisfläche A zu berechnen lautet: $ A = \pi * r^2 $

Beispielaufgabe

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Umfang U = 10 cm. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Lösung:

Zuerst rechnen wir den Radius aus

$$ r = \frac{U}{2\pi}$$	Formel
$$ r = \frac{10 cm}{2\pi}$$	Wert für U eingesetzt
$$ r = \frac{5}{\pi}cm $$	Bruch kürzen

Jetzt können wir mit dem Radius r den Flächeninhalt A des Kreises berechnen

$$ A = \pi * r^2 $$	Formel
$$ A = \pi * (\frac{5}{\pi}cm)^2 $$	Wert für r eingesetzt
$$ A = \pi * (\frac{25}{\pi^2}) cm^2 $$
$$ A = (\frac{25}{\pi}) cm^2 $$	$ \pi $ mit $ \pi $ kürzen
$$ A = 7.95774715459 cm^2 $$	Ergebnis
$$ A \approx 7.96 cm^2 $$	Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet

Übungsaufgaben Flächeninhalt Kreis berechnen - Los geht's!

Hier findest du Aufgaben, mit denen du dein Wissen testen kannst. Wenn du die Lösung sehen willst, drück einfach auf die Aufgabe. Falls du gerne mehr Aufgaben machen willst, denke dir einfach ein paar aus und überprüfe die Ergebnisse mit dem Rechner.